Calculs pour la construction d'un cadran solaire bifilaire horizontal

Gnomon vertical

Soit un jour où la déclinaison du Soleil est δ (on ne tient pas compte de la variation de δ au cours de la journée). On rappelle que la déclinaison δ est positive au printemps et en été, négative en automne et en hiver, et nulle aux équinoxes.

Soit H1=t/4 l'angle compté en degrés si t est le temps en minutes de temps, séparant l'instant considéré de midi vrai ce jour-là. On prend t négatif avant midi (où t = 0) et positif après midi.

Alors, en un lieu de latitude ϕ, 0 90° – ε (où ε est l'obliquité de l'écliptique), si le gnomon vertical est de hauteur h, dans le repère xOy considéré sur le sol horizontal (O: pied du gnomon, Ox vers l'Est, Oy vers le Nord), l'extrémité de l'ombre du gnomon se déplace sur la branche d'hyperbole d'équation:

À deux valeurs de δ opposées correspondent les deux branches de la même hyperbole d'équation:

Pour δ = 0, l'hyperbole se réduit à la droite d'équation:

Sur la branche d'hyperbole où elle se déplace, l'extrémité de l'ombre du gnomon a pour coordonnées à l'instant t:

Application au cadran bifilaire horizontal

La figure ci-dessous correspond au cadran bifilaire. Les ombres f et f' des fils F et F' se coupent en P. Ces fils horizontaux sont de directions respectives Ouest-Est et Sud-Nord et rencontrent la verticale de O respectivement en G et G' tels que OG = h = OG' sin phi , où H1=t/4 considéré plus haut (H_t = 15° si t = 60 min).

Dans le repère xOy qui est le même que plus haut, S a pour coordonnées x et y des formules précédentes, et l'abscisse de S' est X = x/sin phi , puisque S' correspond à un gnomon de hauteur h/sin phi . L'égalité de α et de H_t résulte alors de

On voit combien l'égalité à sin phi du rapport OG/OG' est essentielle pour assurer ci-dessus l'élimination de δ et finalement l'égalité désirée.

On peut aussi noter que les coordonnées (X, Y ) de P sont X = x/sin phi , Y = y. Autrement dit, P est l'image de S, de coordonnées (x, y) indiquées plus haut, par l'affinité d'axe Oy et de support 1/sin phi . Le point P se déplace donc aussi sur une branche d'hyperbole, mais plus ouverte que celle où se déplace S.

Démonstration géométrique directe de la propriété précédente

La figure est reprise ci-dessous, en particulier pour faire appaître l'angle horaire KGL = H_t du Soleil dans le plan perpendiculaire à CG en O et donc parallèle au plan équatorial. Les angles CGK, CGL et GKL sont droits.

Par application du théorème de Thalès on obtient d'abord

d'où résulte

Latitude du lieu = ϕ

On a la relation : H' = H sin ϕ
avec H hauteur du fil F et H' hauteur du fil F' au-dessus du plan du cadran horizontal

On a aussi :
OD = H' cotan ϕ

Exemples de calculs
ϕ en °N	H en cm	H' en cm	OD en cm
42	2,5	1,67	1,86
42	5	3,35	3,72
47	2,5	1,83	1,70
47	5	3,66	3,41
50	2,5	1,92	1,61
50	5	3,83	3,21