Association Méridienne
Atelier
Astrolabe planisphérique
Le tympan
- Pour en savoir plus
- Astrolabe planisphérique
- Historique de l'astrolabe
- Différentes parties
- Calculs pour la construction d'un astrolabe:
- 1- le tympan
- 2- l'araignée
- 3- l'ostenseur
- 4- Le limbe
- 5- Le verso de la mère
- 6- l'alidade
- Construction d'un astrolabe
- Utilisation d'un astrolabe
- À admirer: un astrolabe construit à partir des travaux de Méridienne
- Bibliographie et webographie
Le tympan
La projection stéréographique
Tracés de l'équateur et des tropiques
L'angle inscrit \(\ \widehat{\text{P}_\text{N}\text{P}_\text{S}\text{M}} \) est la moitié de l'angle au centre \( \widehat{\text{POM}} \ \) donc
\( \ \widehat{\text{P}_\text{N}\text{P}_\text{S}\text{M}} = \dfrac{90\degree - \varphi}{2} \)
\(\widehat{\text{P}_\text{N}\text{P}_\text{S}\text{M}} = \widehat{\text{P}_\text{N}\text{P}_\text{S}\text{M'}} \)
\( \tan \widehat{\text{P}_\text{N}\text{P}_\text{S}\text{M'}} = \dfrac{\text{M'P}}{2\,\text{R}}
\ \Rightarrow \ \text{PM'} = 2\,\text{R} \times \tan \dfrac{90\degree - \varphi}{2} = \text{R}_\text{équateur} \times \tan \dfrac{90\degree - \varphi}{2} \)
Tropique du capricorne
Le diamètre du cercle du tropique du capricorne est imposé par la construction :
RTropique du capricorne = 9,50 cm
Équateur
\( \text{PT}_\text{cap} = \text{R}_\text{équateur} \times \tan \dfrac{90\degree - \varphi}{2} = 9,5\,\text{cm} \)
avec \( \varphi_\text{cap} = -23\degree\,26' = -23,43\,\degree \)
\( \Rightarrow \text{R}_\text{équateur} = \dfrac{\text{PT}_\text{cap}}{\tan \frac{90\degree - \varphi}{2}} = \dfrac{9,5}{\tan \frac{90 - 23,43}{2}} \)
Réquateur = 6,24 cm
Tropique du Cancer
\( \text{PT}_\text{can} = \text{R}_\text{équateur} \times \tan \dfrac{90\degree - \varphi}{2} = 9,5\,\text{cm} \)
avec \( \varphi_\text{can} = 23\degree\,26' = 23,43\,\degree \)
\( \text{PT}_\text{can} = 6,24\tan \dfrac{90\degree - \varphi}{2} = 4,10 \)
RTropique du cancer = 4,10 cm
Cercles d'égale hauteur
- P = étoile polaire h=hauteur \(\varphi\) = latitude
M et Q égale hauteur h - L'angle inscrit \(\ \widehat{\text{P}_\text{N}\text{P}_\text{S}\text{M}} \) est la moitié de l'angle au centre \( \widehat{\text{POM}} \) donc
\( \widehat{\text{P}_\text{N}\text{P}_\text{S}\text{M}} = \dfrac{\varphi - \text{h}}{2} \)
\(\widehat{\text{P}_\text{N}\text{P}_\text{S}\text{M}} = \widehat{\text{P}_\text{N}\text{P}_\text{S}\text{M'}} \)
\( \tan \widehat{\text{P}_\text{N}\text{P}_\text{S}\text{M'}} = \dfrac{\text{M'P}}{2\,\text{R}} \ \Rightarrow \ \text{PM'} = 2\,\text{R} \times \tan \dfrac{\varphi - \text{h}}{2} = \text{R}_\text{équateur} \times \tan \dfrac{\varphi - \text{h}}{2} \) - L'angle inscrit \(\ \widehat{\text{P}_\text{N}\text{P}_\text{S}\text{Q}} \) est la moitié de l'angle au centre \( \widehat{\text{POQ}} \) donc
\( \widehat{\text{P}_\text{N}\text{P}_\text{S}\text{Q}} = \dfrac{180\degree - \varphi - \text{h}}{2} \)
\(\widehat{\text{P}_\text{N}\text{P}_\text{S}\text{Q}} = \widehat{\text{P}_\text{N}\text{P}_\text{S}\text{Q'}} \)
\( \tan \widehat{\text{P}_\text{N}\text{P}_\text{S}\text{Q'}} = \dfrac{\text{Q'P}}{2\,\text{R}} \ \Rightarrow \ \text{PQ'} = 2\,\text{R} \times \tan \left( 90\degree - \dfrac{\varphi + \text{h}}{2}\right) = \text{R}_\text{équateur} \times \tan\left( 90\degree - \dfrac{\varphi + \text{h}}{2}\right) \) -
Diamètre du cercle = M'P + PQ'
IP = rayon - M'P
\( \text{IP} = \dfrac{\text{M'P+Q'P}}{2} - \text{M'P} = \dfrac{\text{Q'P-M'P}}{2} \) -
Cercle horizon \( \Rarr \text{h} = 0 \) \( \Rarr \text{H'}_1\text{P} = \text{R}_\text{équateur} \times \tan \dfrac{\varphi}{2} \) \( \ \Rarr \ \text{H'}_2\text{P} = \text{R}_\text{équateur} \times \tan \left (90\degree - \dfrac{\varphi}{2} \right ) \)
Courbes d'égal azimut
Azimut 90° Est / 90° Ouest
Ce cercle passe par les points E, O et N. Son centre est A.
Dans le triangle rectangle NPE, on a : \( \tan \widehat{\text{NEP}} = \dfrac{\text{NP}}{\text{EP}} \)
or \( \text{NP} = \text{R}_\text{équateur} \times \tan \dfrac{90\degree - \varphi}{2} \) (voir fiche projection stéréographique) et \( \text{EP} = \text{R}_\text{équateur} \)
\( \tan \widehat{\text{NEP}} = \dfrac{\text{R}_\text{équateur} \times \tan \frac{90\degree - \varphi}{2}}{\text{R}_\text{équateur}} = \tan \dfrac{90\degree - \varphi}{2} \ \Rarr \widehat{\text{NEP}} = \dfrac{90\degree - \varphi}{2} \)
L'angle inscrit \( \widehat{\text{NEP}} \) est la moitié de l'angle au centre \( \widehat{\text{nécessaire}} \)
\( \Rarr \ \widehat{\text{NAE}} = 90\degree - \varphi \)
Dans le triangle rectangle APE, on a : \( \sin (90\degree - \varphi) = \cos \varphi = \dfrac{\text{EP}}{\text{EA}}
\Rarr \dfrac{\text{R}_{\text{équateur}}}{\text{EA}} = \cos \varphi \)
\( \Rarr \text{EA} = \text{NA} = \dfrac{\text{R}_{\text{équateur}}}{\cos \varphi} \)
Exemple de la courbe d'azimut 60° Nord-Est / 60° Sud-Ouest
Son centre est Az. a = azimut
Dans le triangle rectangle NAAz on a : \( \tan \text{a} = \dfrac{\text{NA}}{\text{AA}_{\text{z}}} \Rarr \text{AA}_{\text{z}} = \dfrac{\text{NA}}{\tan \text{a}} \) or \( \text{NA} = \dfrac{\text{R}_{\text{équateur}}}{\tan \text{a} \times \cos \varphi} \)
\( \Rarr \) Position du centre du cercle Az : \( \fcolorbox{#00a9ff}{#e0f5ff}{$\text{AA}_{\text{z}} = \dfrac{\text{R}_{\text{équateur}}}{\tan \text{a} \times \cos \varphi}$} \)
Dans ce triangle on a : \( \cos \text{a} = \dfrac{\text{AA}_{\text{z}}}{\text{NA}_{\text{z}}} \Rarr \text{NA}_{\text{z}} = \dfrac{\text{AA}_{\text{z}}}{\cos \text{a}} \)
\( \Rarr \) Rayon du cercle d'azimut a : \( \fcolorbox{#00a9ff}{#e0f5ff}{$ \text{R}_{\text{az}} = \text{A}_{\text{z}}\text{N} = \dfrac{\text{R}_{\text{équateur}}}{\sin \text{a} \times \cos \varphi} $} \)
Deux méthodes pour les tracés des cercles.
- Connaissant NA, on place A puis Az la position du centre. On trace le cercle de centre Az et de rayon Raz.
- On trace PB connaissant l'azimut a puis BN. On trace le cercle de diamètre Daz et on le déplace pour le faire passer par N et B'.
N est la projection stéréographique du point de latitude ϕ = 47° 13'= 47,22° (latitude de Nantes)
PN est le rayon du cercle représentant tous les points de latitude 47,22°
\( \text{PN} = \text{R}_{\text{équateur}} \times \tan \dfrac{90\degree - \varphi}{2} = 6,24 \times \tan \dfrac{90\degree - 47,22}{2} \)
PN = 2,44 cm
Tracés des heures inégales
-
ϕ = latitude
δ = déclinaison
H = angle horaire local d'un astre
H0 = arc semi-diurne du soleil
\( \fcolorbox{#00a9ff}{#e0f5ff}{$ \cos \text{H}_{\text{0}} = -\tan \varphi \times \tan \delta $} \)
Pour la démonstration se référer au livre de Denis Savoie, "Les cadrans solaires" (p110) BELIN POUR LA SCIENCE 2003. - Durée du jour = 2H0 \( \Rarr \) 1 heure inégale = \( \dfrac{2\text{H}_{0}}{12} \)
-
Le soleil passe au zénith à l'Équateur
δ = 0 \(\Rarr\) cos H0 = 90° \(\Rarr\) 1 heure inégale = \(\dfrac{2\times90}{12}\) = 15,0° \( \Rarr \) 1 heure inégale = 15°
-
Le soleil passe au zénith au Tropique du Cancer
ϕ = 47,22° et δ = -23,43° ; on inverse la valeur de la déclinaison car le tracé de la courbe correspond à la nuit.
\( \Rarr \) cos H0 = – tan 47,22 \(\times\) tan (–23,43) \(\Rarr\) H0 = 62,1°\(\Rarr\) 1 heure inégale = \(\dfrac{2\times 62,1}{12} \) = 10,3° \(\Rarr\) 1 heure inégale = 10,3°
-
Le soleil passe au zénith au Tropique du Capricorne
ϕ = 47,22° et δ = +23,43° ; on inverse la valeur de la déclinaison car le tracé de la courbe correspond à la nuit.
\(\Rarr\) cos H0 = – tan 47,22 \(\times\) tan (+23,43) \(\Rarr\) H0 = 117,9°\(\Rarr\) 1 heure inégale = \(\dfrac{2\times 117,5}{12}\) = 19,7° \(\Rarr\) 1 heure inégale = 19,7°
Dans son ouvrage L'Astrolabe (p. 96), Raymond D'Hollander écrit qu' "En toute rigueur, chaque ligne des heures inégales n'est pas un cercle mais une courbe transcendante […]". Selon les calculs réalisés par Jacques Gapaillard de Méridienne, il ne s'agit pas d'une courbe transcendante mais d'une courbe algébrique, c'est-à-dire ayant une équation cartésienne implicite du type P(x, y) = 0, où P est un polynôme à deux indéterminées. Mais en l'occurrence le degré de ce polynôme est élevé et son calcul est souvent inextricable. Par exemple, pour les heures 3 et 9, le degré est 12 et pour les heures 4 et 8 le degré est 16… A titre de comparaison, un cercle est une courbe algébrique de degré 2.
Dans la pratique, on pourra assimiler le tracé de chacune des courbes des heures inégales à un arc de cercle.
- Les triangles GJP et GKS sont rectangles respectivement en P et S et GJ = GK.
Théorème de Pythagore \(\Rarr\) GJ² = JP² + GP² et GK² = KS² + GS² \(\Rarr\) JP² + GP² = KS² + GS²
or GS = GP + PS \(\Rarr\) JP² = KS² + (GP + PS)² = KS² + GP² + PS² + 2 GP . PS
\(\Rarr\) KS² + GP² + PS² + 2 GP . PS – JP² – GP² = 0 \(\Rarr\) KS + PS + 2 GP . PS – JP² = 0
or KS² + PS² = R²tropique du cancer et \(\sin \widehat{\text{PKS}}=\dfrac{\text{PS}}{\text{PK}} = \dfrac{\text{PS}}{\text{R}_{\text{tr\,can}}} \)
\(\Rarr\) 2 GP . PS + R²tr ca – JP² = 0 \(\Rarr\) 2 GP . PS + R²tr can – R²équateur = 0 \(\Rarr\) GP = \(\dfrac{\text{R}^2_{\text{éq}}-\text{R}^2_{\text{tr\,can}}}{2\,\text{PS}} \)
\( \Rarr \text{GP} = \dfrac{\text{R}_\text{éq}^2 - \text{R}_\text{tr\,can}^2}{2\,\sin \widehat{\text{PKS}}\,.\,\text{R}_\text{tr\,can}} \Rarr \text{GP} = \dfrac{\text{R}_\text{éq}^2 - \text{R}_\text{tr\,can}^2}{2\,\sin (\beta_5 - \beta_\text{tr\,can})\,.\,\text{R}_\text{tr\,can}} \)
or sur l'équateur, 1 heure inégale = 15,0° et sur le tropique du cancer, 1 heure inégale = 10,3°
\(\Rarr\) Pour la cinquième heure, N = 5 : \(\Rarr \text{GP} = \dfrac{\text{R}_\text{éq}^2 - \text{R}_\text{tr\,can}^2}{2\,\sin (5 \times 15 - 5 \times 10,3)\,.\,\text{R}_\text{tr\,can}} \)
avec Réquateur = 6,24 cm et RTropique du cancer = 4,09 cm
\(\Rarr\) Quelle que soit l'heure inégale N \( \text{GP} = \dfrac{\text{R}_\text{éq}^2 - \text{R}_\text{tr\,can}^2}{2\,\sin \text{N}(15 - 10,3)\,.\,\text{R}_\text{tr\,can}} = \dfrac{6,24^2 - 4,09^2}{2\times 4,09 \times \sin \text{N}(15 - 10,3)} \)
\(\Rarr\) Pour l'heure inégale N, \(1\leqslant\text{N}\leqslant 6\) : \( \boxed{ \text{GP} = \dfrac{6,24^2 - 4,09^2}{2\times 4,09 \times \sin \text{N}(15 - 10,3)} } \) - On a : GJ² = JP² + GP² \(\Rarr\) \( \text{GJ} = \sqrt{\text{JP}^2 + \text{GP}^2} = \sqrt{\text{R}_\text{éq}^2 + \text{GP}^2} \)
\( \fcolorbox{#00a9ff}{#e0f5ff}{$\text{Pour l'heure inégale N}, \ 1 \leqslant \text{N} \leqslant 6 : \ \text{GP} = \dfrac{6,24^2 - 4,09^2}{2\times 4,09 \times \sin \text{N}(15 - 10,3)} \quad \text{et} \quad \text{GJ} = \sqrt{6,24^2 + \text{GP}^2}$} \)
Tympans finis avec le tracé de toutes les courbes
Ces cinq tympans ont été réalisés à l'aide d'un logiciel de graphisme.
Ces cinq tympans ont été réalisés à l'aide d'un logiciel de graphisme.
Construction faite avec Word uniquement
Cercle d'égale hauteur
Courbes d'égal azimut
Tracés des heures inégales
Courbes des azimuts et des hauteurs pour collage
Courbes sans les azimuts pour collage
Tympan fini pour impression
