Calculs nécessaires à la construction du torquet

DISQUE ÉQUATEUR Tabula Equinoctialis.

Sur un disque de 28 cm de diamètre, dans une couronne périphérique (Rexterne = 14 cm, Rinterne = 13 cm), tracer les graduations des heures et des quarts d'heure en deux fois 12 h.
1 h ↔ 15° ; 15 min ↔ 3,75°
Sur une deuxième couronne (Rexterne = 13 cm, Rinterne = 12 cm) tracer les graduations en degrés de 0° à 360°.

DISQUE BASE Basilica.

La graduation de cette base découle de la projection de l'écliptique sur le plan de l'Équateur. Il faut donc convertir les coordonnées écliptiques en coordonnées équatoriales.

tan α = tan λ cos ε

avec :
	α = ascension droite en °
	λ = longitude écliptique en °
	ε = obliquité de l'écliptique = 23°26'

Sur un disque de 22 cm de diamètre, dans une couronne périphérique (Rexterne = 11 cm, Rinterne = 10 cm), tracer les graduations en degrés de 0° à 360°.

Sur une deuxième couronne (Rexterne = 10 cm, Rinterne = 8 cm) tracer le calendrier des constellations zodiacales.

Le Soleil entre dans la constellation de la /du /des	le	longitude écliptique* en degrés
Capricorne	20 janvier	299,71
Verseau	16 février	327,89
Poissons	12 mars	351,57
Bélier	19 avril	29,09
Taureau	14 mai	53,47
Gémeaux	22 juin	90,43
Cancer	21 juillet	118,26
Lion	11 août	138,18
Vierge	17 septembre	174,16
Balance	31 octobre	217,80
Scorpion	23 novembre	241,14
Ophiuchus	30 novembre	248,04
Sagittaire	18 décembre	266,61

*calendrier astronomique 2019 par Guy Ottewell (www.universalworkshop.com)

DISQUE ÉCLIPTIQUE Rotula Ecliptica.

Ce disque de 22 cm de diamètre contient trois couronnes : une pour les graduations en degrés, une pour le calendrier des constellations zodiacales et une troisième excentrée pour le calendrier.

Sur une couronne périphérique (Rexterne = 11 cm, Rinterne = 10,2 cm), tracer les graduations en degrés de 0° à 360°.
Sur une deuxième couronne (Rexterne = 10,2 cm, Rinterne = 9,4 cm) tracer le calendrier des constellations zodiacales. (voir la deuxième couronne du disque de base)

Couronne excentrée

Calculs pour le positionnement du calendrier
Pour mettre en évidence le fait que le Soleil ne paraît pas se déplacer sur l'écliptique d'un mouvement uniforme, dans le courant de l'année, subissant de ce fait une inégalité en longitude, vers 150 ans avant J.-C., le grand astronome grec Hipparque avait imaginé un excentrique (cercle excentrique) dont les éléments lui avaient été fournis par l'inégalité des saisons.
L'Astrolabe de Raymond d'Hollander, pages 126 et 127 (Cf. bibliographie).

On utilise un cycle de quatre années : 2017; 2018; 2019; 2020 (année bissextile).

année	2017	2018	2019	2020	durée moyenne
	durée en j				en j	en °
printemps	92 j +17,557h	92 j +17,557h	92 j +17,557h	92 j +17,557h	92,742	91,412	α
printemps	92,732	92,744	92,747	92,746	92,742	91,412	α
été	93 j +15,627h	93 j +15,779h	93 j +15,832h	93 j +15,783h	93,657	92,314	β
été	93,651	93,657	93,660	93,658	93,657	92,314	β
automne	89 j +20,436h	89 j +20,478h	89 j +20,588h	89 j +20,528h	89,853	88,565
automne	89,852	89,845	89,858	89,855	89,853	88,565
hiver	88 j +23,792h	88 j +23,595h	88 j +23,503h	88 j +23,585h	88,984	87,659
hiver	89,991	89,983	89,979	89,982	88,984	87,659
total					365,236	360

α + β = 91,412 + 92,314 =183,726°

date	2017	2018	2019	2020	moyenne
printemps le:	20 mars +10h 28min 38s	20 mars +16h 15min 27s	20 mars +21h 58min 25s	20 mars + 3h 49min 36s
printemps le:	20,44 mars	20,68 mars	20,92 mars	20,16 mars	20,55 mars
été le:	21 juin + 4h 24min 09s	21 juin +10h 07min 18s	21 juin +15h 54min 14s	20 juin +21h 43min 40s
été le:	21,18 juin	21,42 juin	21,66 juin	20,91 juin	20,29 juin
automne le:	22 septembre +20h 01min 48s	23 septembre + 1h 54min 05s	23 septembre + 7h 50min 10s	22 septembre +13h 30min 38s
automne le:	22,83 sept	23,08 sept	23,32 sept	22,56 sept	22,95 sept
hiver le:	21 décembre +16h 27min 57s	21 décembre +22h 22min 44s	22 décembre + 4h 19min 25s	21 décembre +10h 02min 19s
hiver le:	21,69 déc	21,93 déc	22,18 déc	21,42 déc	21,81 déc

E est le centre de l'excentrique, cercle de rayon R supposé être parcouru par le Soleil d'un mouvement uniforme, mais qui ne sera plus perçu comme tel par l'observateur terrestre placé en O, centre de l'écliptique.
L'Astrolabe de Raymond d'Hollander, page 127 (Cf. bibliographie).

durée (printemps + été) > 180° et durée (printemps + été) > durée (automne + hiver)
\(\Rarr\) E à droite de la ligne équinoxiale

durée été > durée printemps \(\Rarr\) E au-dessus de la ligne solsticiale

λ = longitude écliptique de l'apogée A de la trajectoire apparente du Soleil

À partir du schéma, après divers calculs géométriques* on trouve :

λ = 103,3° et OE = 3 mm

* voir fiche CALCULS COMPLÉMENTAIRES ci-dessous.

Zoom de la construction pour le positionnement de E

Tracé du calendrier

Positionner le point E avec précision et tracer le cercle de rayon R = 9 cm.

Sur une couronne (Rexterne = 9 cm, Rinterne = 8 cm) tracer le calendrier en positionnant les points équinoxiaux et les points solsticiaux par rapport à la couronne extérieure graduée en degrés en tenant compte des calculs précédents.

Les points A et B, intersection de la droite (OE) avec le cercle des dates doivent indiquer les dates correspondant au périhélie et à l'aphélie du barycentre du système Terre + Lune.

Pour la Terre seule:
Année	Périhélie		Aphélie
Année	Date	Heure	Date	Heure
2017	4 janvier	14:00	3 juillet	20:00
2018	3 janvier	06:00	6 juillet	17:00
2019	3 janvier	05:00	4 juillet	22:00
2020	5 janvier	08:00	4 juillet	12:00

CALCULS COMPLÉMENTAIRES

D'après Raymond d'Hollander, L'Astrolabe pages 127 et 128 (Cf. bibliographie).

Calculs de λ et OE

\( \widehat{\text{KT}} = \dfrac{\alpha + \beta - 180}{2} = 1,863 \degree \)
\( \text{HE} = \text{R}\sin\widehat{\text{KT}} = \text{R} \times 0,0325 \)
\( 2\,\widehat{\text{PM}} = \dfrac{\beta - \alpha}{2} = 0,451\degree \)
\( \text{EI} = \text{R} \sin \widehat{\text{PM}} = \text{R}\times 0,0079 \)
\( \text{OE}^2 = \text{HE}^2 + \text{EI}^2 = \text{R}^2 \times 0,00112 \ \Rightarrow \ \text{OE} = 0,0334\, \text{R} \)
e valeur de l'excentrement : \( \text{e} = \dfrac{\text{OE}}{\text{R}} = \dfrac{0,033\,\text{R}}{\text{R}} = 0,033 = \dfrac{1}{29,899} \)
\( \sin\lambda = \dfrac{\text{HE}}{\text{OE}} = \dfrac{\text{R}\times 0,0325}{\text{R}\times 0,0334} = 0,9731 \ \Rightarrow \ \lambda = 76,668\degree \quad \text{ou} \quad \lambda = 103,332\degree \)
\( \dfrac{\text{OE}}{\text{R}} = \dfrac{1}{29,899} \ \Rightarrow \ \text{OE} = \dfrac{90}{29,899} = 3,01\,\text{mm} \)

λ = 103,3° et OE = 3 mm

DISQUE CRÊTE Crista.

Sur un disque de 22 cm de diamètre, dans une couronne périphérique (Rexterne = 11 cm, Rinterne = 9,5 cm), tracer les graduations en degrés quatre fois 90° (de 0° à 90°; 90° à 0°; 0° à 90° et 90° à 0°).

DEMI-DISQUE Semicirculus.

Sur un demi-disque de 6,2 cm de diamètre, dans une demi-couronne périphérique (R_externe = 11 cm, R_interne = 9,5 cm), tracer les graduations en degrés deux fois 90° (de 90° à 0°et de 0° à 90°).